OBS! Du är inte inloggad eller saknar ett aktivt abonnemang. Du kan enkelt skapa ett konto och teckna ett abonnemang;
Logga in med ditt användarkonto. | Skapa ett användarkonto. | Teckna ett abonnemang.

Måndistanser


Måndistanser (lunar distances / longitude by lunar distans) är den mest använda metoden för att fastställa longituden innan man hade exakta klockor med på fartygen.

Och... Det är lika bra att säga det direkt. Det publiceras inga "officiella" tabeller för måndistanser längre. Det krävs därför avancerad matematik för att använda metoden! Men av historiska skäl är det väldigt roligt att åtminstone ha en förståelse för den!

Måndistanser var den metod som konkurrerade med John Harrissons kronometer-ur i tävlingen om Longitud-priset. Måndistanser fick ut en del av prissumman men med tiden visade sig metoden vara underlägsen mot att navigera med hjälp av klockan. Metoden ger inte alls samma noggrannhet i positionsbestämningen samt att den är krångligare att utföra då den i princip, bland annat, kräver tre navigatörer som mäter tre olika vinklar samtidigt och sen utför tämligen komplicerade beräkningar.

Metoden


Tre vinkelmätningar (klicka för förstoring)

Metoden med måndistanser bygger på att ta fram GMT (Greenwich Mean Time) oavsett var observatören befinner sig. Är tiden, GMT, känd kan både longitud och latitud bestämmas utan att man behövde känna till den lokala tiden ombord. Den lokala tiden ombord får man också ut genom metoden om än inte särdeles exakt.

Måndistansmetoden bygger på att mäta positionen för månen relativt till solen, någon planet eller stjärnor på ekliptikan. Metoden kan också beskrivas med att man mäter månens vinkelavstånd till solen, eller en närbelägen stjärna. Eftersom månen är "så nära" jorden jämfört med andra himlakroppar förändras dess position relativt fort jämfört med dessa andra himlakroppar i "bakgrunden".

Det råder ett matematiskt samband mellan solhöjd, position och tid. Känner man två, kan man räkna ut den tredje. När man inte känner till den lokala tiden eller sin position kan man räkna ut dem båda genom att mäta måndistansen till solen eller till en närbelägen stjärna. Vinkelavståndet mellan månen och himlakroppen ger tiden.

Genom att jämföra ett uppmätt bågavstånd (måndistans) med de som gavs i nautikalalmanackan kunde GMT bestämmas. Longituden erhölls ur skillnaden mellan GMT och ortstiden, som beräknades trigonometriskt efter en höjdobservation.

Helst används tre personer samtidigt för en positionsbestämning med måndistansmetoden. Med varsin sextant mätte en måndistansen, en solhöjden och en månhöjden exakt samtidigt. Därigenom kunde man från samma tidpunkt både få klockslaget och beräkna positionen med både longitud och latitud. Se bilden ovan som exempel.

Månen roterar runt jorden på 27,3 dygn jämfört med exempelvis stjärnorna om man studerar månen ifrån jorden. Förändringen (rotationen) är cirka 13° per dag eller 33' per timma.

Månen, liksom nästan alla andra himlakroppar, roterar i relation till jorden från öst till väst. Jorden roterar ett varv på 24 timmar. Detta gör att månen "släpar efter" från väst till öst jämfört med bakgrunds himlakropparna.

Därför kan man lika månen vid visarna på en klocka och himlavalvet bakom som urtavlan på klockan. Månens position på himlavalvet kan därför användas för att avläsa tiden på denna "månklockan".

Tyvärr var det inte helt enkelt. Där var två stora problem;

  1. Månens förflyttning mot himlavalvet är endast 0,5°/timma vilket är väldigt långsamt jämfört med timvisaren på en klocka som förflyttar sig 30°/timma.
  2. Tidsskalan för "månklockan" har ingen direkt eller uppenbar relation till tiden på jorden.

Det första problemet löste sig med tiden då instrumentmakare utvecklade sextanten varmed man kan mäta optiska vinklar mellan himlakroppar mycket exakt.

Det andra problemet var upp till astronomer och matematiker att lösa. De behövde först hitta beräkningsformler för månens rörelse på himlavalvet och därefter publicera tabeller baserade på dessa beräkningsformler så navigatören inte behövde vara matematiker för att kunna göra en positionsbestämning. Tabellerna översätter "månklockan" till en tid navigatören har nytta av.

Tabeller


ezLunars tabell för måndistanser

Officiella tabeller för måndistanser publicerades från 1767 och upphörde att publiceras år 1905.

I programvaran ezLunars från EZ Celestial finns måndistanser med för den som önskar att utforska denna metod närmare.


Nackdelar och fördelar

Oavsett vår möjlighet till att beräkna månens position exakt och med sextanter mäta måndistansen är metodens noggrannhet avseende att erhålla en exakt position relativt begränsad. De största nackdelarna är;

  • Månens rörelse längs ekliptikan är ungefär 0,5' per minut. Detta är också i praktiken ungefär den noggrannhet man kan förväntas lyckas mäta måndistans med en sextant under realistiska förhållanden. Detta ger att tidpunkten som erhålles har en noggrannhet på 1 tidsminut vilket innebär att longituden som sen beräknas får motsvarande fel. I praktiken var felet ofta upp emot 60 distansminuter.
  • Då månen står nära solen kan måndistanser inte tas.
  • Och som alltid... det krävs att solen och horisonten är synliga men nu även månen och detta samtidigt för navigatören (navigatörerna).

Fördelar... Den enda stora fördelen är att beroendet av en klocka elimineras.

Länkar för mer information

Historia

En av de första att beräkna tabeller för himlakroppar och publicera dem var den tyska astronomen Regiomontanus år 1474.

I början av 1600-talet då Johannes Keppler studerade Thycho Brehs observationer kunde han formulera sina lagar om planeternas rörelser. Detta var en mycket stor förbättring av Copernicus modeller och förståelse för planeternas rörelse.

Men en exakt beräkning av månens rörelser i form av ett tre-kroppars graviationsproblem utan analytisk lösning var ännu inte möjlig.

1753 publicerade den tyska astronomen Tobias Mayer med för den tiden oöverträffad exakthet. av tre-kroppars problemet. Detta möjliggjorde för första gången en longitud bestämning genom måndistansmetoden som var inom de gränser som var uppsatta i "The Longitude Act".

När Mayer gick bort 1762 hade ännu ingen vinnare i "Longitud-tävlingen" blivit utsedd. Hans förbättrade måndistanstabeller vilka han hade arbetet med under de senaste 7 åren för sin död testades av Nevil Maskelyne på en segling till Barbados in 1763. På denna segling var även John Harrisons kronometer H4 med ombord.

Den 9:e februari, 1765, rekommenderade "the Board of Longitude" för det brittiska parlamentet att både Mayer och Harrison skulle belönas för sina bidrag till lösningen. Men de signlaerade också kraftigt att ingen av metoderna var direkt praktiskt användbara. Harrisons kronometrar var för komplicerade att bygga. Mayers metod var för matematiskt komplicerad för en "vanlig" navigatör.

Maskelyne som hade provat båda teknikerna var övertygad om att måndistansmetoden kunde förenklas och därmed bli praktisk vilket inte var fallet med byggnationen av kronometrarna. När han blev "Astronomer Royal" på observatoriet i Greenwich fokuserade han på att förenkla beräkningarna. Han tog fram en tabeller med måndistanser som publicerades i nauticalalmanacken 1767 där de sedan publicerades till och med 1905.

Kring 1850 har kronometrar kunnat produceras i stora mängder, med hög kvalitet och till överkomliga priser. Därigenom kom de snabbt att finnas på alla fartyg. Därigenom slutade måndistanser att användas för longitud-bestämning men användes ännu några decennier för klock-kontroller.

1905 var radiomottagare så vanliga på fartyg att de genom tidsignaleringen där kunde ställa och kontrollera sina klockor att något behov av måndistanstabellerna inte längre fanns.

Fastställa GMT och Longitud med Måndistansmetoden


Tre vinkelmätningar (klicka för förstoring)

Måndistansen erhålls genom att den närmaste vinkeln mellan "sido-limben" av månen observeras gentemot "sido-limben" på solen, en planet eller stjärna. Väljs en planet eller stjäna ska denna ligga på eller relativt nära ekliptikan. Exakt samtidigt som måndistansen observeras observeras även månhöjden till horisonten och den andra valda himlakroppens höjd till horisonten. Det är således tre observationer som ska göras exakt samtidigt. Det krävs därför tre sextanter och tre observatörer/navigatörer. Med hjälp av dessa observationer kan GMT erhållas genom följande tre steg;

  1. Den observerade måndistansen (Lunar Distans Observerd/LDs) mellan "sido-limberna" måste rättas utifrån himlakropparnas semi-diameter (avstånd från kanten till centrum) till att bli den apparanta måndistansen (LD Apparant/LDa) mellan centrum på de två himlakropparna.
  2. Den apparanta måndistansen (LDa) är påverkad till viss del av refractionsfelet och till stor del påverkad av parallaxfelet. På grund av att måndistansen mäts relativt vinkelrätt mot horisonten blir rättningen av dessa två fel tämligen komplex. Rättningen av en måndistans från apparant till sann brukar benämnas som "Clearing the Lunar Distance". Det som då erhålls är LDt (LD true).
  3. Den sanna måndistansen (LDt) kan sedan jämföras med värden i Måndistanstabeller för att avläsa vid vilket klockslag (GMT) som den aktuella observerade och rättade måndistansen inträffar.

Med hjälp av GMT som erhållits utifrån måndistansobservationrna kan longituden beräknas utifrån GMT och den lokala tiden. Den erhållna GMT kan också användas för att justera kronometerklockan som används för måndistansnavigationen.

Att grundläggande problem idag med måndistansmetoden är att alla tre observationerna måste göras exakt samtidigt. Förr i tiden var detta inget problem på segelfartyg då det finns flera navigatörer ombord och flera sextanter. Om en person själv ska försöka sig på att använda denna metoden så finns där två alternativ;

  • De två höjderna kan observeras före och sen efter måndistansobservationen. Den sanna höjden för de två höjderna kan därefter interpoleras fram ifrån observationen före och efter för respektive himlakropp. För att få en rimligt användbar noggranhet med denna metoden måste alla fem (5) observationerna göras inom några få minuter.
  • De två höjderna kan beräknas i förväg utifrån en bestämd tid och position. Denna metoden används med fördel då man är placerad på land då tid och position ofta är kända och horisonten ofta inte är observerbar.

Att observera vinkeldistanser på himlasfären skiljer sig från att observera höjder. Höjder observeras genom att sextanten hålls helt lodrätt. Vinkeldistanser observeras genom att sextanten vrids upp emot 90 grader så att sextantens "plan" skär igenom både jordens och de två himlakropparns centrum. Det är först då som "stor cirkel distansen" erhålls. Precis som då en höjd observeras rekommenderas att man "gungar" sextanten så att man säkerställer att det är den minsta vinkeldistansen man kan nå som observeras. Stående på ett gungande fartyg och utföra detta är utmanande och kräver en del träning.

Måndistansmetoden är extremt känslig för noggrannheten av den observerade måndistansen. Det rekommenderas därför, om noggranhet eftersträvas, att göra minst fem på varandra följande observationer och därefter göra en grafisk- eller numeriskmedelvärdesberäkning av alla värdena för att därigenom öka noggrannheten.

I anslutningen till fullmåne är det viktigt att använda den skarpa "sido-limben" av månen och inte den lite mer "blurriga" limben som finns på den mer avlägsna sidan av månen.

"För-rättning" (pre-clearing) av måndistansen

En observerad måndistans är alltid en indirekt observation då den är mellan limberna och inte himlakropparnas centrum.

Har den aktuella sextanten ett instrumentfel (CorrIE) måste alla observationerna rättas för CorrIE.

Det rekommenderas ofta att rita en liten skiss för måndstansobservationen så att rätt semi-diameter justering används för de två aktuella himlakropparna. Beroende på vilken limb som används kan CorrSD vara positiv eller negativ och den är alltid olika för olika himlakroppar. Notera också den extra justering av månens semi-diameter nedan.

LDa = LDs ± CorrSD-moon ± CorrSD-annan

Justering av månens semi-diameter

Månens semi-diametern som anges i nautikalalmanackan är för den faktiska semi-diameter från månens centrum till dess över- (upper) eller under- (lower) kant. Den semi-diameter som krävs vid navigation med måndistansmetoden är den från sidan. Denna är lite större och varierar då månen kommer något lite närmare observatören desto högre den står. CorrSD-Moon måste således ökas lite med ett CorrSD-AUGMmoon (CorrSD-AUGMentation Moon).

Justeringen i bågminuter kan beräknas med formelen som då ska adderas till SDmoon;

CorrSD-AugMmoon = 0,3' * sin(Ht-moon)

Följande tabell kan användas istället om man inte vill använda formeln ovan;

Observerad höjd (Hmoon) 0°-9° 10°-29° 30°-59° 60°-90°
CorrSD-AUGMmoon 0.0' 0.1' 0.2' 0.3'

Rättning av observerade höjder

Nästa del av för-rättningen (pre-clearing) är att utföra en "standard" rättning av de observerade (Ha) höjderna syftandes till att få fram de sanna höjderna (Ht). De rättningar som görs är för CorrIE samt för CorrDIP, CorrREF, CorrPAR och CorrSD.

I resten av denna beskrivning har månen och solen använts för måndistansenobservationen. Metoden är identisk då en planet eller stjärna används.

Ha-moon = Hs-moon ± CorrIE - CorrDIP ± (CorrSD-moon + CorrSD-AUGMmoon)
Ha-sun = Hs-sun ± CorrIE - CorrDIP ± CorrSD-sun

Observationerna är nu rättade utifrån centrum och semi-diameter och nu återstår bara att rätta för refraktion- och parallax-felen. Denna rättning görs i två steg då det andra steget enbart påverkar den observerade måndistansen.

Ht-moon = Ha-moon - CorrREF-moon + CorrPAR-moon
Ht-sun = Ha-sun - CorrREF-sun + CorrPAR-sun

Vi har nu de sanna höjderna för båda himlakropparna. Skillnaden mellan Ha och Ht för de båda himlakropparna kommer att behövas för få fram hur måndistansen påverkas av refraktion- och parallax-felen.

Rättning (Clearing) av måndistansen

Den "för-rättade" måndistansen LDa är från centrum till centrum mellan månen och solen. Som med alla observationer måste denna distans också rättas med avseende på refraktion- och parallax-felen med hänsyn tagen till den geocentriska observationen (parallellt med jordens horisont). Detta kallas för rättning av måndistansen ("Clearing the Lunar Distance").

Den matematiska lösningen


Illustrationen visar vad som är känt för oss. H'm och H's är den apparanta höjden för månen respektive solen. Hm och hs är den sanna höjden för månen respektive solen.

Navigatören observerade höjden till månen (Ha-moon/H'm) och solen (Ha-sun/H´s) samt den apparanta måndistansen LDa/LDapp på illustrationen ritad med rött. Detta ger tre sidor på en sfärisk triangel. Notera att triangeln visas i ett horisontelt coordantsystem utifrån observatören.

Z är projektpunkten för observatören. Den motstående sidorna Om-Os är ett segment av den lokala horisonten definerad av positionen hos observatören och azimuten till månen respektive solen. Segmentet Om-H´m och Os-H´s är den observerade/apparanta höjden. Vinkeln Dapp är dn observerade/apparanta måndistansen.

En andra triangel kan definieras med den sanna höjden för månen (Ht-moon/Hm) och solen (Ht-sun/Hs). Eftersom parallaxfelet för månen är mycket större än refrationsfelet ger detta att den observerade höjden för månen är mindre än den sanna höjden för månen. Då solen (eller planeter och stjärnor) ligger mycket längre bort kommer parallaxfelet bli mindre än reflationsfelet. Därmed blir den observerade höjden större än den sanna höjden.

Segmenten Om-Hm och Os-Hs är de rättade höjderna.

En lösning på dessa triangulära problem fås genom att härleda den sanna måndistansen (LDtrue) genom det faktum att de två trianglarna [H'm - Z - H's] och [hm - Z - Hs] delar samma men okända spets (top) i triangelns zentih (Om-Os) vilken kan förenklas bort genom de två triangel relationerna.

För båda trianglarna kan top-vinkeln (Om-Os) beräknas och därmed förenklas bort genom genom ekvationerna;

cos(OmOs) = [cos(LDapp) - sin(H'm)*sin(H's)] / [cos(H'm)*cos(H's)]
cos(OmOs) = [cos(LDtrue) - sin(Hm)*sin(Hs)] / [cos(Hm)*cos(Hs)]

Runt 1770 formulerade Richard Dunthorne en lösning utifrån de två ekvationerna ovan;

cos(LDtrue) = [{cos(Hm)*cos(Hs)} / {cos(H'm)*cos(H's)} * 
              {cos(LDapp) - cos(H'm - H's)}] + [cos(Hm - Hs)]

Därigen kan den sanna måndistansen, LDtrue, beräknas utifrån de observationer som använts.

För en navigatör på 1800-talet var en sådan beräkning tämligen komplicerad och därmed snudd på oanvändbar. Flera förenklade metoder, men mer praktiska, som ändå gav tillräcklig noggrannhet uppstod med tiden för bruk ombord på fartyg.

Nedan beskrivs två av dessa metoder.

  • Borda-metoden som är en mer analytisk metod för beräkning av måndistansen.
  • Merrifield's-metoden är en approximation av den sfäriska triangeln som ger en approximation av måndistansen.

Borda-metoden

Borda-metoden utvecklades av Jean de Borda för att rätta måndistanser år 1787.

Kring 1787 formulerade, Jean de Borda en fransk sjöman och vetenskapsman, en logaritmisk form av distans rättningen. I ett första steg beräknas en mellanliggande vinkel, phi / φ, med logsec() = -logcos()).

logcos(phi) = 0.5 * { (logsec(H'm) + logsec(H's) + 
                    logcos((H'm + H's + LDapp)/2)) + 
                    logcos((H'm + H's - LDapp)/2) + 
                    logcos(Hm) + logcos(Hs) } 

Med hjälp av phi kan den sanna höjden beräknas.

logsin(LDtrue/2) = 0.5 * { logsin(phi + (Hm + Hs)/2) + 
                         logsin(phi - (Hm + Hs)/2)}

Borda-metoden kräver en del översättning mellan linjär och logaritmik genom en stor mängd uppslagning i trignomiska tabeller. En fullständig beskrivning av denna beräkning finns i "The Mathematics of the Longitude" skriven av Wong Lee Nah (se länk ovan).

Here is how a possible worksheet for this method could look like (example):

LDapp             79°38'6     79°38'6     -79°38'6
H'm               63°53'0                             -logcos()   0.356350
H's               35°47'0                             -logcos()   0.090854
H'm+H's           99°40'0     99°40'0      99°40'0
                            ---------    ---------
H'm+H's +/- LDapp          A 179°18'6   B  20°01'4
A/2               89°39'3                              logcos()  -2.220303
B/2               10°00'7                              logcos()  -0.006664

Hm                64°17'0                              logcos()  -0.362589
Hs                35°46'0                              logcos()  -0.090763
Hm+Hs            100°03'0                                       ----------
Hm+Hs)/2       C  50°01'5     50°01'5     -50°01'5               -2.233115 /2
phi               85°36'9     85°36'9      85°36'9  <- logcos()  -1.116558 
                            ---------    ---------
                           D 135°38'4   E  35°35'4
phi+C          D 135°38'4                              logsin()  -0.155419
phi-C          E  35°35'4                              logsin()  -0.235093
                                                                ----------
                                                                 -0.390512 /2
LDtrue/2          39°38'1 *2                        <- logsin()  -0.195256 
LDtrue            79°16'1 

Genom denna uppställningen kan rättningen av måndistansen utföras med en tabel baserad på de två funktionerna logcos() och logsin() med logcos(90°-x) = logsin(x) vilket ger att endast en av dessa två funktioner måste tabelleras.

De negativa värdena för "logcos()/logsin()"-funktion kan undvikas genom utbyte till "logsec()/logcsc()" och därigenom nödvändiga ändringar i uppställningen.

Merrifild's-metoden

1884 publicerade John Merrifield sin metod för rättning av måndistanser.

Denna metoden är intiutiv i sina principer och beskrivs här som ett exempel på hur en approximation för rättningen kan göras.

Det kan synas som att uppställningen inte ger några direkta förenklingar gentemot Borda-metoden. Men den stora fördelen är att den sanna måndistansen erhålls genom att addera en rättning till den apparanta måndistansen istället för genom en multiplicering med en faktor som är nära 1. Detta ställer mycket höga krav på beräkningarnas noggrannhet och exakthet/upplösning. Något som då inte krävs med Marrifield's-metoden.

Förenklingen som Merrifield gjorde visas på illustrationen till höger. Storcirkel segmentet av måndistansen (LDtrue) är approximerad till segmentet x-y vilket förenklat är den observerade apparanta måndistansen (LDapp) med några små justeringar: H's-y för sol-sidan och H'm-x för Moon-sidan.


Merrifields-metoden baseras på det faktum att ovan korrigering kan beräknas ur små trianglar H'm-x-Hm and H's-y-Hs vilka kan approximeras till enkla trianglar.

Lösningen av dessa trianglar kräver två nya variabler:

δm and δs (δ = Delta), men gör det möjligt att formulera den sanna måndistansen i en enkel formel;

LDtrue = LDapp + [(H'm - Hm)*cos(Delta-m) + (H's - Hs)*cos(Delta-s)]

I formeln kan delarna inom [..] tolkas som en kombinerad rättelse av parallax- och refraktions-felen för både månen och solen (eller en annan himlakropp). Notera också att denna kombinerade rättelse kan vara både positiv och negativ beroende på främst storleken på månens parallax.

Delta-värden kan beräknas utifrån den sfäriska triangeln H's-Z-H'm genom att använda cosinueslagen för sidorna (se avsnittet Fördjupning/Matematiken):

cos(90°-H'm) = cos(LDapp) * cos(90°-H's) + sin(LDapp) * 
               sin(90°-H's) * cos(Delta-s)

Detta kan skrivas om till;

cos(Delta-s) = [ cos(90°-H'm) - cos(LDapp) * cos(90°-H's) ] / 
               [ sin(LDapp) * sin(90°-H's) ]

             = [ sin(H'm) - cos(LDapp) * sin(H's) ] / [ sin(LDapp) * cos(H's)]

Vilket även kan skrivas som;

cos(Delta-m) = [ sin(H's) - cos(LDapp) * sin(H'm) ] / [ sin(LDapp) * cos(H'm)]

Om en miniräknare med trigonometriska funktioner används är detta en snabb metod för att rätta den observerade måndistansen från parallax- och refractions-felen.

Slutligen...

Genom dessa beskrivningar kan en sann måndistans erhållas efter en observation. Sista steget är att ta fram aktuell GMT för tiden då observationen gjordes ur Måndistans-tabellerna.

Ta fram GMT ur måndistanstabellen

Det sista steget är att använda måndistanstabellen. Tabellen måste läsas för att hitta den exakta tid då den aktuella sanna måndistansen redovisas.

Den exakta tiden erhålls genom linjär interpolation av den tabulerade (Tiden - Måndistans) kopplas till vilken den sanna måndistansen är känd. Notera att för att denna interpolation ska fungera får intervallen mellan de tabulerade värdena inte överstiga ett spann om tre timmar.

Aktuell position utifrån måndistansmetoden

Efter att ha tagit fram GMT används höjdobservationerna för att arbeta fram två LOPar genom exempelvis interceptmetoden och därigenom erhålls aktuell position.

Välja himlakropp

Den andra himlakroppen (månen är alltid den "första") kan vara solen, någon planet eller starkt lysande stjärna längs med månens bana. Detta är den mest lämpliga ordningen. Idealiskt så har himlakroppen samma deklination som månen men då detta är ovanligt får man acceptera en viss avvikelse. Som en grundregel kan sägas att en avvikelse på deklinationen kan hanteras om GHA-distansen är avsevärt större än deklinations-skillnaden.

  • Solen: Väljs om skillnaden i GHA är mellan 30 och 80 grader.
  • Planeter: Mars, Venus and Jupiter används om skillnaden i GHA är mellan 30 och 60 grader.
  • Starka stjärnor: Används om skillnaden i deklinationen är läger än 10 grader och skillnaden i GHA är mellan 30 och 60 grader.

De mest lämpliga stjärnorna för måndistansobservationer är Sirius, Aldebaran, Altair, Antares, Fomalhaut, Hamal, Markab, Pollux, Procyon, Betelgeuze, Riegel, Regulus och Spcia. Men även andra stjärnor nära ekliptikan kan användas exempelvis Enif.


OBS! Då du inte inloggad eller saknar ett aktivt abonnemang visas eventuellt inte hela innehållet på denna sidan.
Logga in med ditt användarkonto. | Skapa ett användarkonto. | Teckna ett abonnemang.




Innehållet på denna sida är upphovsrättsskyddat. Innehållet får användas (läsas, sparas och skrivas ut) för eget personligt bruk men inte kopieras eller distribueras för användning av annan person eller organisation utan skriftligt godkännande från KoyMa.




Sidan ändrades senast 2021-12-30 21:59 och är visad 592 gånger.